今天我们来讨论在三维空间中坐标系旋转的问题。首先从最简单的二维空间内的旋转开始：

　　假设B参考系相对于A参考系旋转了\theta角（逆时针旋转为正bc贷论坛，顺时针旋转为负），在A参考系中，点的向径为rbc贷论坛，方位角为\alpha。则其在A系中的笛卡尔坐标为：

　　在B参考系中bc贷论坛，点的向径为rbc贷论坛，方位角为\alpha-\thetabc贷论坛。则其在B系中的笛卡尔坐标为：

　　假设旋转前B系和A系对齐，记点在A系中的坐标向量[1]为\vec r_Abc贷论坛，在B系中的坐标向量[1]为\vec r_B

　　现在我们考虑三维空间中最一般的旋转变换bc贷论坛，假设在一架飞机内bc贷论坛，在飞机内可以定义x轴、y轴和z轴bc贷论坛bc贷论坛。飞机可以绕自身的x轴bc贷论坛、y轴和z轴旋转（不考虑飞机的平移）bc贷论坛bc贷论坛。在飞机上观测一个物体（这个物体既可以是相对于飞机静止的仪表盘bc贷论坛bc贷论坛bc贷论坛，也可以是相对于地面静止的灯塔），得到一个该物体的位置坐标。要解决的问题是，如何将飞机上测得的坐标\vec r转换为地面上测得的坐标\vec r_0，或是其逆过程？

　　以上只是欧拉旋转矩阵的一种实现方式——依次绕当前x轴旋转\alpha角bc贷论坛，绕当前y轴旋转\beta角bc贷论坛，绕当前z轴旋转\gamma角。我们将这种旋转方式记为 x-y-z。一共有12种实现方式，它们的特点是：

　　它表示依次绕当前a轴旋转\alpha角bc贷论坛，绕当前b轴旋转\beta角，绕当前c轴旋转\gamma角。

　　三轴陀螺仪本质上就是进行欧拉旋转bc贷论坛，下面用mathematica建模了一个三轴陀螺仪（a-b-a轴系统）：

　　在某些特定的角度bc贷论坛，欧拉旋转矩阵的性质不够好bc贷论坛bc贷论坛，从而会产生问题，这就是所谓的“万向锁”（gimbal lock）。

　　此时便减小了一个自由度，只有\alpha+\gamma的值可以影响旋转bc贷论坛。下面的mathematica代码直观地展示了万向锁效应：